CF 316 E. Pig and Palindromes 求左上角走到右下角是回文的方法数 DP

题意：给一个n*m的格子，每个格子有一个字母，只有向下和向左两种走法，现在要求，从左上角走到右下角，走过的格子的字母是回文的有多少种走法？

DP，枚举步数，因为是回文串，所以应该是对称的，步数应该为$\frac{(n+m)}{2}$向下取整，可以知道，以左上角为起点走，走step步，走到的点是固定的，假设从左上角走到$(r_1,c_1)$这个点，并且走了step步，那么明显有$r_1+c_1=step+1$(由$(1,1)$走到$(r_1,c_1)$)，从右下角走到$(r_2,c_2)$这个点，并且走了step步，那么明显有$r_2+c_2=n+m+1-step$(由$(n,m)$走到$(r_2,c_2)$)，那么对于每一个$c_1$和$c_2$都直接用公式算出对应的$r_1$和$r_2$，对于每一个$step$，枚举$(c_1,r_1)$和$(c_2,r_2)$，第$step$步由$step+1$递推而来。。可以用滚动数组节约空间。
代码：

//author: CHC
//First Edit Time:	2015-08-29 15:06
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <vector>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <limits>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=510;
const int INF = numeric_limits<int>::max();
const LL LL_INF= numeric_limits<LL>::max();
const int mod=1e+9 + 7;
LL dp[2][MAXN][MAXN];
int n,m;
char mapp[MAXN][MAXN];
bool check(int x){
    return x>=1&&x<=n;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf(" %s",mapp[i]+1);
        int k=0;
        for(int step=(n+m)/2;step>0;step--){
            k^=1;
            for(int c1=1;c1<=m;c1++){
                for(int c2=c1;c2<=m;c2++){
                    int r1=step-c1+1;
                    int r2=n+m-step-c2+1;
                    if(!(check(r1)&&check(r2)&&r1<=r2))continue;
                    //printf("step:%d %d %d %d %d\n",step,r1,c1,r2,c2);
                    if(mapp[r1][c1]==mapp[r2][c2]){
                        if(r1==r2&&c1==c2)dp[k][c1][c2]=1;
                        else if(r1==r2&&c1+1==c2)dp[k][c1][c2]=1;
                        else if(r1+1==r2&&c1==c2)dp[k][c1][c2]=1;
                        else 
                            dp[k][c1][c2]=(dp[k^1][c1+1][c2]+dp[k^1][c1+1][c2-1]+dp[k^1][c1][c2-1]+dp[k^1][c1][c2])%mod;
                    }
                    else dp[k][c1][c2]=0;
                }
            }
        }
        printf("%I64d\n",dp[k][1][m]%mod);
    }
    return 0;
}